کاربردتصاعد هندسی در مساله ای منسوب به حضرت علی(ع)<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

 

در جلد سوم کتاب ناسخ التواریخ آمده است: ((سه مرد بر آن بودند

 

که 17 شتر همانند را به نسبت های 1/2,1/3,1/9میان

 

خود تقسیم کنند. چون هیچ یک ار آنها حاضر نبود حتی

 

ذره ای از سهم خود د به نفع دیگری بگذرند یا اینکه با به

 

میان نهادن مقداری درهم یا دینار مشکل تقسیم به

 

نسبت را حل نمایند کار آنها به مشاجره و بن بست

 

رسید. ناگزیر برای حل اختلاف و داوری نزد حضرت علی

 

(ع) رفتند. حضرت با استماع دعوی آنها تدبیری

 

اندیشیدند، بدین ترتیب که یک شتر از شتران خود را به

 

تعداد شترها افزودند و تعداد شترها را به 18 رساندند و

 

 سپس با تقسیم عدد 18 بر 2 و 3 و 9 به ترتیب اعداد9و

 

6و2 (جمعاً 17 شتر)بدست آمد که هر یک از این ارقام

 

قدری بیشتر از سهم مورد درخواست آن سه مرد بود و

 

همگی خشنود و سپاسگزار شدند.پس از این تقسیم

 

عادلانه حضرت شتر خود را پس گرفتند. ))

                                 

حال مساله ی فوق را از دیدگاه ریاضی مورد بررسی قرار می دهیم:

 

از جمع سه نسبت فوق خواهیم

 

داشت:<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />(1/2)+(1/3)+(1/9)=(17/18) ،پس جمع نسبت ها یک کسر

 

کوچک تر از واحد است.لذا اگر بخواهیم 17 شتر را با نسبت هایفوق

 

تقسیم کنیم مقدار 1-(17/18)=(1/18 ) کل شتر ها یا به عبارتی18/17

 

یک شتر باقی می ماند.

یعنی اگر سهم هر کدام را C,B,A در نظر بگیریم در تقسیم اول خواهیم داشت :

A = (1/2) × 17 = (17/2)       B = (1/3) × 17 = (17/3)       C=(1/9) × 17 =(17/9)

 

 

 

 برابر است با: در نتیجه:تعداد شتران باقی مانده پس از اولین تقسیم به نسبت

 

 

=17-((17/2)+(17/3)+(17/9))=17- 17(17/18)=17(1-

 

(17/18))=(17/18)

 

حال این 18/17 شتر باقی مانده را با همان نسبت بین مدعیان تقسیم می کنیم، لذا سهم مدعیان پس از دومین تقسیم به صورت زیر خواهد بود:

A = (17/2) + (1/2) × (17/18) = (17/2) (1 + (1/18))

 

B = (17/3) + (1/3) × (17/18) = (17/3) (1 + (1/18))

C = (17/9) + (1/9) × (17/18) = (17/9) (1 + (1/18))

 

در این مرحله نیز چون جمع نسبت های تقسیم کوچکتر از واحد است

 

 (17/18) پس باز هم مقداری از شتر ها (البته کمتر از مرحله ی قبل)باقی می ماند که عبارت است از:

 

 

تعداد شتران باقی مانده پس از دومین تقسیم به نسبت :

 

=17-[(17/2) (1 + (1/18)) + (17/3) (1 + (1/18)) +

(17/9) (1 + (1/18))]

 

=17-[(1 + (1/18)) ((17/2) + (17/3) + (17/9)]

=17-[(1 + (1/18)) (17 ×17/18)] =17-[1 - (1 + (1/18))(17/18)]

 

= 17[1- (1 + (1/18)) (1-(1/18)))] =17[1-(1-(1/18)2)]=17×(1/182)=(17/18)2

 

در نتیجه سهم هر کدام پس از سومین مرحله عبارت است از:

 

)A = (17/2) + (1/2) × (17/18) + (1/2) × (17/18) 2 = (17/2) (1 + (1/18) + (1/18)2

 

/ 2 نظر / 16 بازدید
maedeh

salam aghaye ranjbar man ba inke chizi sar dar nemiaram vali weblogetoon har rooz behtar mishe dastetoon dard nakone

Simko

اين يکی خيلی جالبه!!!‌آفرين